椭圆的中心是原点O,它的短轴长为,相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。(1)求椭
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椭圆的中心是原点O,它的短轴长为,相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。(1)求椭
题型:天津高考真题
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椭圆的中心是原点O,它的短轴长为
,相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)若
,求直线PQ的方程;
(3)设
(λ>1),过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M,证明
。
答案
解:(1)由题意,可设椭圆的方程为
。
由已知得
解得
所以椭圆的方程为
,离心率
。
(2)由(1)可得A(3,0)。
设直线PQ的方程为
。
由方程组
得
依题意
,得
。
设
,则
, ①
②
由直线PQ的方程得
。
于是
。③
∵
,∴
。④
由①②③④得
,从而
。
所以直线PQ的方程为
或
。
(3)证明:
由已知得方程组
注意
,解得
因
,
故
。
而
,
所以
。
举一反三
已知椭圆
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,点P在椭圆上,若P、F
1
、F
2
是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为
[ ]
A.
B.3
C.
D.
题型:湖北省高考真题
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已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且
,P为GE与OF的交点(如图),问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由。
题型:高考真题
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椭圆
的两个焦点为F
1
、F
2
,过F
1
作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则
=
[ ]
A.
B.
C.
D.4
题型:高考真题
难度:
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已知F
1
、F
2
是椭圆的两个焦点,过F
1
且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF
2
是真正三角形,则这个椭圆的离心率是
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:福建省高考真题
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已知椭圆C
1
:
(a
1
>b
1
>0)和椭圆C
2
:
(a
2
>b
2
>0)的焦点相同且a
1
>a
2
,给出如下四个结论:
①椭圆C
1
和椭圆C
2
一定没有公共点;
②
;
③
;
④a
1
-a
2
<b
1
-b
2
。其中,所有正确结论的序号是
[ ]
A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③
题型:北京期末题
难度:
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