如图，椭圆的中心在原点，F为椭圆的左焦点，B为椭圆的一个顶点，过点B作与FB垂直的直线BP交x轴于P点，且椭圆的长半轴长a和短半轴长b是关于x的方程3x2-cx

题型：0119 期末题难度：来源：

如图，椭圆的中心在原点，F为椭圆的左焦点，B为椭圆的一个顶点，过点B作与FB垂直的直线BP交x轴于P点，且椭圆的长半轴长a和短半轴长b是关于x的方程3x²-cx+2c²=0（其中c为半焦距）的两个根。
（1）求椭圆的离心率；
（2）经过F、B、Ｐ三点的圆与直线相切，试求椭圆的方程。

答案

解：（1）依题意，由根与系数的关系得

∴
又∵
∴
解得；
（2）由（1）知，令
则有
从而
∴直线BP的方程为
P点坐标
∵△FBP是直角三角形
∴圆心为，半径为
圆心到直线的距离为

解得
故
所以椭圆的方程为。