已知椭圆(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),过点E(,0)的直线与椭圆相交于A、B两点,且F1A∥F2B,|F1A|

已知椭圆(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),过点E(,0)的直线与椭圆相交于A、B两点,且F1A∥F2B,|F1A|

题型:天津高考真题难度:来源:
已知椭圆(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)(c>0),过点E(,0)的直线与椭圆相交于A、B两点,且F1A∥F2B,|F1A|=2|F2B|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求直线AB的斜率;
(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上,求的值。
答案
解:(1)由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|,得

从而
整理,得a2=3c2
故离心率
(2)由(1),得
所以椭圆的方程可写为
设直线AB的方程为

由已知设A(x1,y1),B(x2,y2),则它们的坐标满足方程组
消去y并整理,得
依题意,


由题设知,点B为线段AE的中点,所以x1+3c=2x  ③
联立①③解得
将x1、x2代入②中,解得
(3)由(2)可知
时,得
由已知得
线段AF1的垂直平分线l的方程为
直线l与x轴的交点是△AF1C的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为
直线F2B的方程为
于是点H(m,n)满足方程组
由m≠0,解得

时,同理可得
举一反三

在△ABC中,AB=BC,cosB=-,若以A、B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=(    )。

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在平面直角坐标系xOy中,设椭圆(a>b>0)的焦距为2c,以点O为圆心,a为半径作圆M。若过点P(,0)所作圆M的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为(    )。
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设椭圆C1,抛物线C2:x2+by=b2
(Ⅰ)若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率;
(Ⅱ)设A(a,b) ,,又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B(0,
b),且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程。
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椭圆的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A.在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 [     ]
A、(0,]
B、(0,]
C、[-1,1)
D、[,1)
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已知椭圆C:的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF交C于点B.若,则
=(     )A.
B.2
C.
D.3
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