设椭圆C:(a>b>0) 的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且, (Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)若过A,Q,
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设椭圆C:(a>b>0) 的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且, (Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)若过A,Q,
题型:天津模拟题
难度:
来源:
设椭圆C:
(a>b>0) 的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,上顶点为A,过点A与AF
2
垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且
,
(Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)若过A,Q,F
2
三点的圆恰好与直线l:
相切,求椭圆C的方程:
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点F
2
作斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点,在x轴上是否存在点P(m,0)使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,说明理由.
答案
解:(Ⅰ)设
,由
知
,
∵
,
∴
,
由
,得F
1
为
的中点,
故
,
∴
,
故椭圆的离心率
。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,即
,
于是
,
的外接圆圆心为
,半径
,
所以,由已知,得
,解得:a=2,
∴
,
所求椭圆方程为
。
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
,
由
得
,
设
,
则
,
,
由于菱形对角线垂直,则
,
故
,
则
,
,
由已知条件知k≠0且k∈R,
∴
,∴
,
故存在满足题意的P且m的取值范围是
。
举一反三
已知抛物线y
2
=4x的焦点为F,过F且垂直于x轴的直线交该抛物线于A,B两点,若椭圆C:
(a>b>0)的右焦点与点F重合,右顶点与A,B构成等腰直角三角形,则椭圆C的离心率为( )。
题型:福建省模拟题
难度:
|
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已知椭圆C:
的左、右两焦点分别为F
1
,F
2
,P是椭圆C上的一点,且在x轴的上方,H是PF
1
上一点,若
,
(其中O为坐标原点),
(Ⅰ)求椭圆C离心率e的最大值;
(Ⅱ)如果离心率e取(Ⅰ)中求得的最大值,已知b
2
=2,点M(-1,0),设Q是椭圆C上的一点,过Q,M两点的直线l交y轴于点N,若
,求直线l的方程。
题型:山东省期末题
难度:
|
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如图,P是双曲线
上的动点,F
1
,F
2
是双曲线的焦点,M是∠F
1
PF
2
的平分线上一点,且
。某同学用以下方法研究|OM|:延长F
2
M交PF
1
于点N,可知△PNF
2
为等腰三角形,且M为F
2
N的中点,得
。
类似地:P是椭圆
上的动点,F
1
,F
2
是椭圆的焦点,M是∠F
1
PF
2
的平分线上一点,且
, 则|OM|的取值范围是( )。
题型:福建省模拟题
难度:
|
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以椭圆
的右焦点为圆心的圆经过原点O,且与该椭圆的右准线交于A,B两点.已知△OAB是正三角形,则该椭圆的离心率是( )。
题型:江苏模拟题
难度:
|
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已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形,设P为该椭圆上的动点,C,D的坐标分别是(-
,0),(
,0),则PC·PD的最大值为( )。
题型:江苏模拟题
难度:
|
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