已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(2,0),右焦点为F、O为坐标原点,点F,A到渐近线的距离之比为52,过点B(0,2)且斜率为k

已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(2,0),右焦点为F、O为坐标原点,点F,A到渐近线的距离之比为52,过点B(0,2)且斜率为k

题型:不详难度:来源:
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右顶点为A(2,0),右焦点为F、O为坐标原点,点F,A到渐近线的距离之比为


5
2
,过点B(0,2)且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P,Q.
(I)求双曲线的方程及k的取值范围;
(II)是否存在常数k,使得向量


OP
+


OQ


AB
垂直?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由.
答案
(I)由题意,a=2
根据三角形相似,可得点F,A到渐近线的距离之比为
|OF|
|OA|
=
c
a
=


5
2

∴c=


5
,∴b=


c2-a2
=1
∴双曲线的方程为
x2
4
-y2=1

设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线方程,可得(4k2-1)x2+16kx+20=0
∵过点B(0,2)且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P,Q
∴4k2-1≠0且△=256k2-80(4k2-1)>0,即k2
1
4
k2
5
4

解得-


5
2
<k<


5
2
且k≠±
1
2

(II)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=
-16k
4k2-1



OP
+


OQ
=(x1+x2,y1+y2),


AB
=(-2,2),


OP
+


OQ


AB
垂直
∴-2(x1+x2)+2(y1+y2)=0
∴(x1+x2)(k-1)+4=0
-16k(k-1)
4k2-1
+4=0
∴k=
1
4

∴存在常数k=
1
4
,使得向量


OP
+


OQ


AB
垂直.
举一反三
已知双曲线的一条渐近线方程是x-2y=0,若双曲线经过点M(2


5
,1)
,求此双曲线的标准方程.
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已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a>0,b>0)
的一条渐近线方程为


3
x+y=0
,左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,|BF|=1,过F作直线交此双曲线的右支于P、Q两点.
(1)求双曲线的方程;
(2)若


OP


OQ
=-17
,求△PBQ的面积S.
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y=±x为渐近线,且焦距为8的双曲线方程为(  )
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A.
B.
C.
D.
若双曲线的焦点为F1(-4,0),F2(4,0),实轴长与虚轴长相等,则双曲线的标准方程为:______.
设k是实数,若方程
x2
k-4
-
y2
k+4
=1
表示的曲线是双曲线,则k的取值范围为______.