P是以F1、F2为焦点的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的一点,已知PF1•PF2=0,|PF1|=2|PF2|.(1)试求双曲线的离心率e
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P是以F1、F2为焦点的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的一点,已知PF1•PF2=0,|PF1|=2|PF2|.(1)试求双曲线的离心率e
题型:不详
难度:
来源:
P是以F
1
、F
2
为焦点的双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)上的一点,已知
P
F
1
•
P
F
2
=0,
|
P
F
1
|=2|
P
F
2
|
.
(1)试求双曲线的离心率e;
(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P
1
、P
2
两点,当
O
P
1
•
O
P
2
=-
27
4
,
2
P
P
1
+
P
P
2
=0,求双曲线的方程.
答案
解(1)∵
|
P
F
1
|=2|
P
F
2
|
,
|
P
F
1
|-|
P
F
2
|=2a
,∴
|
P
F
1
|=4a
,
|
P
F
2
|=2a
.
∵
P
F
1
•
P
F
2
=0,∴(4a)
2
+(2a)
2
=(2c)
2
,∴
e=
c
a
=
5
.
(2)由(1)知,双曲线的方程可设为
x
2
a
2
-
y
2
4
a
2
=1
,渐近线方程为y=±2x.
设P
1
(x
1
,2x
1
),P
2
(x
2
,-2x
2
),P(x,y).
∵
O
P
1
•
O
P
2
=-3
x
1
x
2
=-
27
4
,∴
x
1
x
2
=
9
4
.∵
2
P
P
1
+
P
P
2
=0
,∴
x=
2
x
1
+
x
2
3
y=
2(2
x
1
-
x
2
)
3
.
∵点P在双曲线上,∴
(2
x
1
+
x
2
)
2
9
a
2
-
(2
x
1
-
x
2
)
2
9
a
2
=1
.
化简得,
x
1
x
2
=
9
a
2
8
.∴
9
a
2
8
=
9
4
.∴a
2
=2.∴双曲线的方程为
x
2
2
-
y
2
8
=1
举一反三
双曲线C的中心在原点,右焦点为
F(
2
3
3
, 0)
,渐近线方程为
y=±
3
x
.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A、B两点,问:当k为何值时,以AB为直径的圆过原点.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的离心率为
3
,左顶点为(-1,0).
(1)求双曲线方程;
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B,且线段AB的中点在圆x
2
+y
2
=5上,求m的值和线段AB的长.
题型:不详
难度:
|
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如果双曲线的两个焦点分别为F
1
(-3,0),F
2
(3,0),一条渐近线方程为:
y=
2
x
(1)求该双曲线的方程;
(2)过焦点F
2
,倾斜角为
π
3
的直线与该双曲线交于A,B两点,求|AB|.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0.
(1)若双曲线经过
P(
6
,2)
,求双曲线方程;
(2)若双曲线的焦距是
2
13
,求双曲线方程.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆C
1
的离心率为
,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C
2
上的点到C
1
的两个焦点的距离的差的绝对值为8,则曲线C
2
的标准方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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