双曲线C的中心在原点,右焦点为F(233, 0),渐近线方程为y=±3x.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A、B两点,问:当k

双曲线C的中心在原点,右焦点为F(233, 0),渐近线方程为y=±3x.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A、B两点,问:当k

题型:不详难度:来源:
双曲线C的中心在原点,右焦点为F(
2


3
3
, 0)
,渐近线方程为y=±


3
x

(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A、B两点,问:当k为何值时,以AB为直径的圆过原点.
答案
(Ⅰ)设双曲线的方程是
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,则c=
2


3
3
b
a
=


3

又∵c2=a2+b2,∴b2=1,a2=
1
3

所以双曲线的方程是3x2-y2=1.
(Ⅱ)①由





y=kx+1
3x2-y2=1

得(3-k2)x2-2kx-2=0,
由△>0,且3-k2≠0,得-


6
<k<


6
,且 k≠±


3

设A(x1,y1)、B(x2,y2),因为以AB为直径的圆过原点,所以OA⊥OB,
所以 x1x2+y1y2=0.
x1+x2=
-2k
k2-3
x1x2=
2
k2-3

所以 y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,
所以 
2
k2-3
+1=0
,解得k=±1.
举一反三
已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的离心率为


3
,左顶点为(-1,0).
(1)求双曲线方程;
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值和线段AB的长.
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如果双曲线的两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),一条渐近线方程为:y=


2
x

(1)求该双曲线的方程;
(2)过焦点F2,倾斜角为
π
3
的直线与该双曲线交于A,B两点,求|AB|.
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已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0.
(1)若双曲线经过P(


6
,2)
,求双曲线方程;
(2)若双曲线的焦距是2


13
,求双曲线方程.
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设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到C1的两个焦点的距离的差的绝对值为8,则曲线C2的标准方程为(  )
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A.B.
C.D.
双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的离心率为
5
4
,焦点到相应准线的距离为
9
5
,求双曲线的方程.