若双曲线以椭圆x225+y29=1的长轴的两个端点为焦点,且经过点(42,3),求双曲线的标准方程,并求出它的离心率和渐近线方程.
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若双曲线以椭圆x225+y29=1的长轴的两个端点为焦点,且经过点(42,3),求双曲线的标准方程,并求出它的离心率和渐近线方程.
题型:不详
难度:
来源:
若双曲线以椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1
的长轴的两个端点为焦点,且经过点(
4
2
,3),求双曲线的标准方程,并求出它的离心率和渐近线方程.
答案
椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1
长轴的两个端点坐标为(-5,0),(5,0),…(1分)
所以所求双曲线的焦点为F
1
(-5,0),F
2
(5,0),
设所求双曲线方程为
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
,…(2分)
∴a
2
+b
2
=25①…(3分)
又双曲线经过点(
4
2
,3),所以有
32
a
2
-
9
b
2
=1
②…(4分)
由①②解得a
2
=16,b
2
=9 …(8分)
∴所求双曲线的方程为
x
2
16
-
y
2
9
=1
.
∵a
2
=16,b
2
=9∴c
2
=7
∴e=
c
a
=
7
4
,
渐近线方程:y=±
3
4
x …(12分)
举一反三
P是以F
1
、F
2
为焦点的双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)上的一点,已知
P
F
1
•
P
F
2
=0,
|
P
F
1
|=2|
P
F
2
|
.
(1)试求双曲线的离心率e;
(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P
1
、P
2
两点,当
O
P
1
•
O
P
2
=-
27
4
,
2
P
P
1
+
P
P
2
=0,求双曲线的方程.
题型:不详
难度:
|
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双曲线C的中心在原点,右焦点为
F(
2
3
3
, 0)
,渐近线方程为
y=±
3
x
.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A、B两点,问:当k为何值时,以AB为直径的圆过原点.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的离心率为
3
,左顶点为(-1,0).
(1)求双曲线方程;
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B,且线段AB的中点在圆x
2
+y
2
=5上,求m的值和线段AB的长.
题型:不详
难度:
|
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如果双曲线的两个焦点分别为F
1
(-3,0),F
2
(3,0),一条渐近线方程为:
y=
2
x
(1)求该双曲线的方程;
(2)过焦点F
2
,倾斜角为
π
3
的直线与该双曲线交于A,B两点,求|AB|.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0.
(1)若双曲线经过
P(
6
,2)
,求双曲线方程;
(2)若双曲线的焦距是
2
13
,求双曲线方程.
题型:不详
难度:
|
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