已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(3,0)(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OA•
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已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(3,0)(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OA•
题型:重庆
难度:
来源:
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为
(
3
,0)
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线
l:y=kx+
2
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且
OA
•
OB
>2
(其中O为原点).求k的取值范围.
答案
(1)设双曲线方程为
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0).
由已知得
a=
3
,c=2,再由
a
2
+
b
2
=
2
2
,得
b
2
=1
.
故双曲线C的方程为
x
2
3
-
y
2
=1
.
(2)将
y=kx+
2
代入
x
2
3
-
y
2
=1得
(1-3
k
2
)
x
2
-6
2
kx-9=0
.
由直线l与双曲线交于不同的两点得
1-3
k
2
≠0
△=(6
2
k
)
2
+36(1-3
k
2
)=36(1-
k
2
)>0.
即
k
2
≠
1
3
且
k
2
<1
.①
设A(x
A
,y
A
),B(x
B
,y
B
),
则
x
A
+
x
B
=
6
2
k
1-3
k
2
,
x
A
x
B
=
-9
1-3
k
2
,由
OA
•
OB
>2得x
A
x
B
+
y
A
y
B
>2
,
而
x
A
x
B
+
y
A
y
B
=
x
A
x
B
+(k
x
A
+
2
)(k
x
B
+
2
)=(
k
2
+1)
x
A
x
B
+
2
k(
x
A
+
x
B
)+2
=
(
k
2
+1)
-9
1-3
k
2
+
2
k
6
2
k
1-3
k
2
+2=
3
k
2
+7
3
k
2
-1
.
于是
3
k
2
+7
3
k
2
-1
>2,即
-3
k
2
+9
3
k
2
-1
>0,解此不等式得
1
3
<
k
2
<3
.②
由①、②得
1
3
<
k
2
<1
.
故k的取值范围为
(-1,-
3
3
)∪(
3
3
,1)
.
举一反三
已知双曲线C经过点C(1,1),它的一条渐近线方程为
y=
3
x
.则双曲线C的标准方程是______.
题型:上海
难度:
|
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己知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的离心率
e=
2
3
3
,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为
3
2
.
(1)求双曲线的方程;
(2)求过双曲线左焦点F
1
,倾斜角为
π
4
的直线被双曲线所截得的弦长.
题型:不详
难度:
|
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以双曲线
x
2
4
-
y
2
5
=1
的左焦点为焦点的抛物线标准方程是______.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆C
1
的离心率为
,焦点在x轴上且长轴长为30.若曲线C
2
上的点到椭圆C
1
的两个焦点的距离的差的绝对值等于10,则曲线C
2
的标准方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知双曲线C的中心在坐标原点O,对称轴为坐标轴,点(-2,0)是它的一个焦点,并且离心率为
2
3
3
.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)已知点M(0,1),设P(x
0
,y
0
)是双曲线C上的点,Q是点P关于原点的对称点,求
MP
•
MQ
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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