设动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2,∠APB=2θ,且存在常数λ(0<λ<1),使得d1d2sin2θ=λ, (1)证明:动点P的轨
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设动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2,∠APB=2θ,且存在常数λ(0<λ<1),使得d1d2sin2θ=λ, (1)证明:动点P的轨
题型:江西省高考真题
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设动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d
1
和d
2
,∠APB=2θ,且存在常数λ(0<λ<1),使得d
1
d
2
sin
2
θ=λ,
(1)证明:动点P的轨迹C为双曲线,并求出C的方程;
(2)过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点,试确定λ的范围,使
=0,其中点O为坐标原点.
答案
解:(1)在△PAB中,|AB|=2,即
,
,
即
(常数),
点P的轨迹C是以A,B为焦点,实轴长
的双曲线,
方程为:
.
(2)设
,
①当MN垂直于x轴时,MN的方程为x=1,
M(1,1),N(1,-1)在双曲线上,
即
,
因为0<λ<1,所以
;
②当MN不垂直于x轴时,设MN的方程为y=k(x-1),
由
得:
,
由题意知:
,
所以
,
于是:
,
因为
,且M,N在双曲线右支上,
所以
,
由①②知,
。
举一反三
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F
1
(-3,0),一条渐近线的方程是
x-2y=0,
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求k的取值范围。
题型:天津高考真题
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已知双曲线
的两条渐近线方程为y=±
x,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为( )。
题型:江西省高考真题
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如图,在以点O为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中,OD⊥AB,P是半圆弧上一点,∠POB=30°,曲线C是满足
题型:MA|-|MB
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(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积不小于2
,求直线l斜率的取值范围。
5621204086.html">查看答案
已知点P(x,y)为双曲线
(b为正常数)上任一点,F
2
为双曲线的右焦点,过P
1
作右准线的垂线,垂足为A,连接F
2
A并延长交y轴于P
2
。
(1) 求线段P
1
P
2
的中点P的轨迹E的方程;
(2) 设轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点Q(x
1
,y
1
)(y
1
≠0),直线QB,QD分别交y轴于M,N 两点,求证:以MN为直径的圆过两定点。
题型:江西省高考真题
难度:
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若双曲线的一个顶点坐标为(3,0),焦距为10,则它的标准方程为( )。
题型:上海高考真题
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