解:(1)由题意知,双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为, ∴=,即=. 由得 ∴双曲线C的方程为-x2=1. (2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x, 设A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0. 由=λ得P点坐标为, 将P点坐标代入-x2=1,化简得mn=. 设∠AOB=2θ,∵tan(-θ)2. ∴tanθ=,sin2θ=. 又|OA|=m,|OB|=n, ∴S△AOB=|OA|·|OB|·sin2θ =2mn =+1, 记S(λ)=+1,λ∈. 则S′(λ)=. 由S′(λ)=0得λ=1. 又S(1)=2,S=,S(2)=, ∴当λ=1时,△AOB的面积取得最小值2,当λ=时, △AOB的面积取得最大值. ∴△AOB面积的取值范围是. |