A、B是双曲线x2-=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点(1)求直线AB的方程;(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、
题型:不详难度:来源:
A、B是双曲线x2-=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点 (1)求直线AB的方程; (2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么? |
答案
(1)依题意,可设直线方程为y=k(x-1)+2 代入x2-=1,整理得 (2-k)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0 ① 记A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程①的两个不同的实数根,所以2-k2≠0,且x1+x2= 由N(1,2)是AB中点得(x1+x2)=1 ∴ k(2-k)=2-k2,解得k=1,所易知 AB的方程为y=x+1. (2)将k=1代入方程①得x2-2x-3=0,解出 x1=-1,x2=3,由y=x+1得y1=0,y2=4 即A、B的坐标分别为(-1,0)和(3,4) 由CD垂直平分AB,得直线CD的方程为y=-(x-1)+2,即 y=3-x ,代入双曲线方程,整理, 得 x2+6x-11=0 ② 记C(x3,y3),D(x4,y4),以及CD中点为M(x0,y0),则x3、x4是方程②的两个的实数根,所以 x3+x4=-6, x3x4=-11, 从而 x0=(x3+x4)=-3,y0=3-x0=6 |CD|== ∴ |MC|=|MD|=|CD|=2, 又|MA|=|MB|= 即A、B、C、D四点到点M的距离相等,所以A、B、C、D四点共圆. |
解析
略 |
举一反三
已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y-3=0,则该双曲线的离心率为 ( ) |
.P是双曲线 的右支上一点, 、 分别为左、右焦点,则 内切圆圆心的横坐标为________. |
若双曲线 的一条渐近线方程为 ,则此双曲线的离心率为( ) |
已知双曲线 的左焦点为 , ,当 时,则该双曲线的离心率 等于 ( )
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设 为双曲线 的两个焦点,点 在双曲线上且满足 ,则 的面积是( )A.1 | B.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191024/20191024041217-22859.png) | C.2 | D.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191024/20191024041217-98116.png) |
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