若F1、F2分别为双曲线 -=1下、上焦点,O为坐标原点,P在双曲线的下支上,点M在上准线上,且满足:,(1)求此双曲线的离心率;(2)若此双曲线过N(,2),
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若F1、F2分别为双曲线 -=1下、上焦点,O为坐标原点,P在双曲线的下支上,点M在上准线上,且满足:,(1)求此双曲线的离心率;(2)若此双曲线过N(,2),
题型:不详
难度:
来源:
若F
1
、F
2
分别为双曲线 -=1下、上焦点,O为坐标原点,P在双曲线的下支上,点M在上准线上,且满足:
,
(1)求此双曲线的离心率;
(2)若此双曲线过N(,2),求此双曲线的方程
(3)若过N(,2)的双曲线的虚轴端点分别B
1
,B
2
(B
2
在
x
轴正半轴上),点A、B在双曲线上,且
,求
时,直线AB的方程.
答案
(1)
e
="2;(2)" 双曲线的方程为-=1;(3) AB的方程为
y
=±(
x
-3) .
解析
(1)
,∴PF
1
OM为平行四边形,
又
知M在∠PF
1
O的角平分线上,
∴四边形PF
1
OM为菱形,且边长为
=
c
∴
=2
a
+
=2
a
+
c
,由第二定义=
e
即=
e
,∴+1=
e
且
e
>1
∴
e
="2"
(2)由
e
=2,∴
c
=2
a
即
b
2
=3
a
2
,双曲线方程为 -=1
又N(,2)在双曲线上,∴-=1,∴
a
2
=3∴双曲线的方程为-=1;
(3)由
知AB过点B
2
,若AB⊥
x
轴,即AB的方程为
x
=3,此时AB
1
与BB
1
不垂直;设AB的方程为
y
=
k
(
x
-3)代入-=1得
(3
k
2
-1)
x
2
-18
k
2
x
+27
k
2
-9="0"
由题知3
k
2
-1≠0且△>0即
k
2
> 且
k
2
≠,
设交点A(
x
1
,
y
1
),B(
x
2
,
y
2
),
=(
x
1
+3,
y
1
),
=(
x
2
+3,
y
2
),
∵
,∴
=0即
x
1
x
2
+3(
x
1
+
x
2
)+9+
y
1
y
2
=0
此时
x
1
+
x
2
=,
x
1
·
x
2
=9,
y
1
y
2
=
k
2
(
x
1
-3) (
x
2
-3)=
k
2
[
x
1
x
2
-3(
x
1
+
x
2
)+9]=
k
2
[18-]=-
∴9+3+9-=0,∴5
k
2
=1,∴
k
=±
∴AB的方程为
y
=±(
x
-3) .
举一反三
已知双曲线
的焦距为
,离心率为
,若点
与
到直线
的距离之和
,则
的取值范围是_______.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
的一条渐近线方程为
,两条准线的距离为
l
.
(1)求双曲线的方程;
(2)直线
l
过坐标原点
O
且和双曲线交于两点
M
、
N
,点
P
为双曲线上异于
M
、
N
的一点,且直线
PM
,
PN
的斜率均存在,求
k
PM
·
k
PN
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知点
分别是射线
,
上的动点,
为坐标原点,且
的面积为定值2.
(I)求线段
中点
的轨迹
的方程;
(II)过点
作直线
,与曲线
交于不同的两点
,与射线
分别交于点
,若点
恰为线段
的两个三等分点,求此时直线
的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知中心在原点,左、右顶点A
1
、A
2
在
x
轴上,离心率为
的双曲线C经过点P(6,6),动直线
l
经过△A
1
PA
2
的重心G与双曲线C交于不同两点M、N,Q为线段MN的中点。
(1)求双曲线C的标准方程
(2)当直线
l
的斜率为何值时,
。
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
的中心在原点,对称轴为坐标轴,其一条渐近线方程是
,且双曲线
过点
.
(1)求此双曲线
的方程;
(2)设直线
过点
,其方向向量为
,令向量
满足
.双曲线
的右支上是否存在唯一一点
,使得
. 若存在,求出对应的
值和
的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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