已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是，且双曲线过点.（1）求此双曲线的方程；（2）设直线过点，其方向向量为，令向量满足.双曲线的右支上是否

题型：不详难度：来源：

已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是，且双曲线过点.
（1）求此双曲线的方程；
（2）设直线过点，其方向向量为，令向量满足.双曲线的右支上是否存在唯一一点，使得. 若存在，求出对应的值和的坐标；若不存在，说明理由.

答案

（1）
（2），.

解析

（1）设双曲线的方程为，将点代入可得，
双曲线的方程为.
（2）依题意，直线的方程为 .设是双曲线右支上满足
 的点，结合，得，
即点到直线的距离 
①若，则直线与双曲线的右支相交，此时双曲线的右支上有两个点到直线的距离为1，与题意矛盾；
②若，则直线在双曲线右支的上方，故，从而
. 又因为，所以
.
当时，方程有唯一解，则；
当时，由得，此时方程有唯一解，则
综上所述，符合条件的值有两个：，此时；，此时.