已知△ABC中,BC=4,2sinC=2sinB+sinA.求顶点A的轨迹方程.
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已知△ABC中,BC=4,2sinC=2sinB+sinA.求顶点A的轨迹方程. |
答案
顶点A的轨迹方程是x2-=1(x>1). |
解析
如图所示,
以直线BC为x轴,线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系. ∵|BC|=4,∴B(-2,0),C(2,0), 由2sinC=2sinB+sinA,利用正弦定理可得 2|AB|=2|AC|+|BC|, 即|AB|-|AC|=|BC|=2<4, 即点A到点B的距离与到点C的距离之差是常数2. 由双曲线的定义可知,点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除顶点). 其中,2a=2,∴a=1.2c=4.∴c=2.从而b2=c2-a2=3. ∴顶点A的轨迹方程是x2-=1(x>1). |
举一反三
已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上. (Ⅰ)若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程; (Ⅱ)若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. |
已知双曲线(a>0,b>0)的右准线一条渐近线交于两点P、Q,F是双曲线的右焦点。 (I)求证:PF⊥; (II)若△PQF为等边三角形,且直线y=x+b交双曲线于A,B两点,且,求双曲线的方程; (III)延长FP交双曲线左准线和左支分别为点M、N,若M为PN的中点,求双曲线的离心率e。 |
如图,双曲线=1(b∈N*)的两个焦点为F1、F2,P为双曲线上一点,|OP|<5,|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列,求此双曲线方程. |
若k>1,则关于x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是( )A.焦点在x轴上的椭圆 | B.焦点在y轴上的椭圆 | C.焦点在y轴上的双曲线 | D.焦点在x轴上的双曲线 |
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椭圆+=1(m>n>0)和双曲线-=1(a>0,b>0)有相同的焦点F1、F2,P是这两条曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|等于( ) |
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