(理)已知平面内动点P(x,y)到定点F(5,0)与定直线l:x=45的距离之比是常数52.( I)求动点P的轨迹C及其方程;( II)求过点Q(2,1)且与曲
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(理)已知平面内动点P(x,y)到定点F(5,0)与定直线l:x=45的距离之比是常数52.( I)求动点P的轨迹C及其方程;( II)求过点Q(2,1)且与曲
题型:不详
难度:
来源:
(理)已知平面内动点P(x,y)到定点
F(
5
,0)
与定直线l:
x=
4
5
的距离之比是常数
5
2
.
( I)求动点P的轨迹C及其方程;
( II)求过点Q(2,1)且与曲线C有且仅有一个公共点的直线方程.
答案
( I)∵
5
2
>1
,
∴轨迹C为以F为右焦点,l为右准线的双曲线.
设双曲线C方程为
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
,则
c=
5
a
2
c
=
4
5
,
∴a
2
=4.
∴b
2
=c
2
-a
2
=5-4=1.
∴双曲线方程为
x
2
4
-
y
2
=1
.
(Ⅱ)(1)若所求直线斜率不存在时,直线x=2满足题意.
(2)若所求直线斜率存在时,设所求直线方程为y-1=k(x-2),
代入曲线方程
x
2
4
-
y
2
=1
,得:
x
2
4
-(kx-2k+1
)
2
=1
,
化简得:(1-4k
2
)x
2
+8k(2k-1)x-4(2k-1)
2
-4=0,
①当(1-4k
2
)=0时,即
k=±
1
2
时,
∵(2,1)在渐近线
y=
1
2
x
上,∴
k=
1
2
时不适合,舍去.
k=-
1
2
时,直线平行于渐近线
y=-
1
2
x
,满足题意,
故所求直线方程为
y=-
1
2
(x-2)+1
,即
y=-
1
2
x+2
.
②当(1-4k
2
)≠0时,由△=64k
2
(2k-1)
2
-16(4k
2
-1)(4k
2
-4k+2)=0,
得
k=
1
2
(舍去),综上所述,所求直线方程为
x=2,y=-
1
2
x+2
.
举一反三
若方程
x
2
k-3
+
y
2
k+3
=1
(k∈R)表示双曲线,则k的范围是______.
题型:不详
难度:
|
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双曲线的实轴长为m,且在此双曲线上一点P到右焦点的距离也为m,则点P到此双曲线左焦点的距离为( )
A.m
B.2m
C.3m
D.4m
题型:不详
难度:
|
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已知P是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
上的点,F
1
、F
2
是其焦点,双曲线的离心率是
5
4
,且
P
F
1
•
P
F
2
=0,若△P
F
1
F
2
的面积为9,则a+b的值为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
题型:河南模拟
难度:
|
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已知动点P到F
1
(-5,0)的距离与它到点F
2
(5,0)的距离之差等于6,则点P的轨迹方程是( )
A.
x
2
9
-
y
2
16
=1
B.
y
2
9
-
x
2
16
=1
C.
x
2
9
-
y
2
16
=1 (x≤-3)
D.
x
2
9
-
y
2
16
=1 (x≥3)
题型:不详
难度:
|
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已知点F
1
(-3,0)和F
2
(3,0),动点P到F
1
、F
2
的距离之差为4,则点P的轨迹方程为( )
A.
x
2
4
-
y
2
5
=1 (y>0)
B.
x
2
4
-
y
2
5
=1 (x>0)
C.
y
2
4
-
x
2
5
=1 (y>0)
D.
y
2
4
-
x
2
5
=1 (x>0)
题型:不详
难度:
|
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