若点A(m,0)到双曲线x24-y2=1的实轴的一个端点的距离是A到双曲线上的各个点的距离的最小值,则m的取值范围是(  )A.[-2,2]B.[-5,5]C.

若点A(m,0)到双曲线x24-y2=1的实轴的一个端点的距离是A到双曲线上的各个点的距离的最小值,则m的取值范围是(  )A.[-2,2]B.[-5,5]C.

题型:不详难度:来源:
若点A(m,0)到双曲线
x2
4
-y2=1
的实轴的一个端点的距离是A到双曲线上的各个点的距离的最小值,则m的取值范围是(  )
A.[-2,2]B.[-


5


5
]
C.[-
5
2
5
2
]
D.(-∞,-
3
2
]∪[
3
2
,+∞)
答案
由题意知双曲线
x2
4
-y2=1焦点在x轴上,且a=2,b=1,c=


5

∴双曲线的左、右顶点分别为为M(-2,0)、N(2,0);

显然,当-2≤m<0时,点A(m,0)到双曲线的左顶点的距离最短,
当0<m≤2时,点A(m,0)到双曲线的右顶点的距离最短,
当m=0时,点A(m,0)到双曲线的左、右顶点的距离相等且最短;
当m>2时,设双曲线右支上任意一点P(x,y),
|PA|2=(x-m)2+y2=(x-m)2+
x2
4
-1≥|AN|2=(2-m)2
∴x2-2mx+
x2
4
-1≥4-4m,
∴(2x-4)m≤
5
4
x2-5=
5
4
(x2-4),
∵x≥2,
∴m≤
5
8
(x+2),又(x+2)min=4,
∴m≤
5
2

综上,2<m≤
5
2
时,点A(m,0)到双曲线的右顶点的距离最短;
同理可得,当-
5
2
≤m<-2时,点A(m,0)到双曲线的左顶点的距离最短.
综上所述,当-
5
2
≤m≤
5
2
时,满足题意.
故选:C.
举一反三
椭圆和双曲线
y2
16
-
x2
m
=1(m>0)有相同的焦点,P(3,4)是椭圆和双曲线渐近线的一个交点,求m的值及椭圆方程.
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过点P(2,1)的双曲线与椭圆
x2
4
+y2=1共焦点,则其渐近线方程是______.
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P是双曲线
x2
4
-
y2
b2
=1
上一点,双曲线的一条渐近线为3x-2y=0,F1,F2分别是左、右焦点,若|PF1|=5,则P到双曲线右准线的距离是______.
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当m∈[-2,-1]时,二次曲线
x2
4
+
y2
m
=1
的离心率e的取值范围是(  )
A.[


2
2


3
2
]
B.[


3
2


5
2
]
C.[


5
2


6
2
]
D.[


3
2


6
2
]
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已知双曲线
x2
4
-
y2
a
=1
的实轴为A1A2,虚轴为B1B2,将坐标系的右半平面沿y轴折起,使双曲线的右焦点F2折至点F,若点F在平面A1B1B2内的射影恰好是该双曲线的左顶点A1,且直线B1F与平面A1B1B2所成角的正切值为


5
5
,则a=______.
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