已知点F1,F2是双曲线C的两个焦点,过点F2的直线交双曲线C的一支于A,B两点,若△ABF1为等边三角形,则双曲线C的离心率为______.
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已知点F1,F2是双曲线C的两个焦点,过点F2的直线交双曲线C的一支于A,B两点,若△ABF1为等边三角形,则双曲线C的离心率为______. |
答案
如图所示,|BF2|-|BF1|=2a,|AF1|-|AF2|=2a, ∵△ABF1为等边三角形,∴|AB|=|AF1|=|BF1|, ∴|BF2|-|AF2|=4a=|AB|. ∴|BF1|=4a,|BF2|=6a. 在△BF1F2中,由余弦定理可得(2c)2=(4a)2+(6a)2-2•4a•6a•cos60°, ∴c=a, ∴e==. 故答案为:.
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举一反三
设双曲线的-个焦点为F;虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为______. |
双曲线C:-=1的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点,若△ABF2是等边三角形,则双曲线C的离心率为______. |
已知椭圆+y2=1(m>1)和双曲线-y2=1(n>0)有相同的焦点F1,F2,P是它们的一个交点,则△F1PF2的形状是( )A.锐角三角形 | B.直角三角形 | C.钝角三角形 | D.随m,n的变化而变化 |
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若双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,则该双曲线的一条渐近线方程为( ) |
已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,P是椭圆上任意一点,则当直线PM,PN的斜率都存在时,其乘积恒为定值.类比椭圆,写出双曲线C′:-=1(a>0,b>0)的类似性质,并加以证明. |
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