双曲线C:x2a2-y2b2=1的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点,若△ABF2是等边三角形,则双曲线C的离心率为___
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双曲线C:x2a2-y2b2=1的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点,若△ABF2是等边三角形,则双曲线C的离心率为___
题型:不详
难度:
来源:
双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
的左右焦点分别为F
1
、F
2
,过F
1
的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点,若△ABF
2
是等边三角形,则双曲线C的离心率为______.
答案
根据双曲线的定义,可得|BF
1
|-|BF
2
|=2a,
∵△ABF
2
是等边三角形,即|BF
2
|=|AB|
∴|BF
1
|-|BF
2
|=2a,即|BF
1
|-|AB|=|AF
1
|=2a
又∵|AF
2
|-|AF
1
|=2a,
∴|AF
2
|=|AF
1
|+2a=4a,
∵△AF
1
F
2
中,|AF
1
|=2a,|AF
2
|=4a,∠F
1
AF
2
=120°
∴|F
1
F
2
|
2
=|AF
1
|
2
+|AF
2
|
2
-2|AF
1
|•|AF
2
|cos120°
即4c
2
=4a
2
+16a
2
-2×2a×4a×(-
1
2
)=28a
2
,解之得c=
7
a,
由此可得双曲线C的离心率e=
c
a
=
7
故答案为:
7
举一反三
已知椭圆
x
2
m
+y
2
=1(m>1)和双曲线
x
2
n
-y
2
=1(n>0)有相同的焦点F
1
,F
2
,P是它们的一个交点,则△F
1
PF
2
的形状是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.随m,n的变化而变化
题型:不详
难度:
|
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若双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的离心率
e=
5
3
,则该双曲线的一条渐近线方程为( )
A.
y=
4
3
x
B.
y=
3
4
x
C.
y=
4
5
x
D.
y=
3
5
x
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,P是椭圆上任意一点,则当直线PM,PN的斜率都存在时,其乘积恒为定值.类比椭圆,写出双曲线
C′:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的类似性质,并加以证明.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设F
1
,F
2
分别是双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使|OP|=|OF
1
|(O为原点),且|PF
1
|=
3
|PF
2
|,则双曲线的离心率为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
双曲线
x
2
4
m
2
-
y
2
m
2
=1的两渐近线方程为( )
A.y=±
1
2
x
B.y=±2x
C.y=±
1
4
x
D.y=±4x
题型:不详
难度:
|
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