设F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使|OP|=|OF1|(O为原点),且|PF1|=3

设F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使|OP|=|OF1|(O为原点),且|PF1|=3

题型:不详难度:来源:
设F1,F2分别是双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使|OP|=|OF1|(O为原点),且|PF1|=


3
|PF2|,则双曲线的离心率为______.
答案
∵|OF1|=|OF2|=|OP|
∴∠F1PF2=90°
设|PF2|=t,则|F1P|=


3
t,a=


3
t-t
2

∴t2+3t2=4c2
∴t=c
∴e=
c
a
=


3
+1.
故答案为:


3
+1.
举一反三
双曲线
x2
4m2
-
y2
m2
=1的两渐近线方程为(  )
A.y=±
1
2
x
B.y=±2xC.y=±
1
4
x
D.y=±4x
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我们把离心率为e=


5
+1
2
的双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线.如图,A1,A2是右图双曲线的实轴顶点,B1,B2是虚轴的顶点,F1,F2是左右焦点,M,N在双曲线上且过右焦点F2,并且MN⊥x轴,给出以下几个说法:
①双曲线x2-
2y2


5
+1
=1是黄金双曲线;
②若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线;
③如图,若∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线;
④如图,若∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线.
其中正确的是(  )
A.①②④B.①②③C.②③④D.①②③④

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已知双曲线顶点间的距离为6,一条渐近线方程为y=
3x
2
,求双曲线的标准方程.
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双曲线
x2
9
-
y2
16
=1
的两个焦点F1、F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则△PF1F2面积是(  )
A.16B.32C.25D.50
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过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的右焦点F2作PF2⊥F1F2,交双曲线于P,若|PF2|=|F1F2|,则双曲线的离心率等于(  )
A.2B.
1
2
C.


2
+1
D.


2
-1
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