我们把离心率为e=5+12的双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线.如图,A1,A2是右图双曲线的实轴顶点,B1,B2是虚轴的顶点,F1,
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我们把离心率为e=5+12的双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线.如图,A1,A2是右图双曲线的实轴顶点,B1,B2是虚轴的顶点,F1,
题型:不详
难度:
来源:
我们把离心率为e=
5
+1
2
的双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线.如图,A
1
,A
2
是右图双曲线的实轴顶点,B
1
,B
2
是虚轴的顶点,F
1
,F
2
是左右焦点,M,N在双曲线上且过右焦点F
2
,并且MN⊥x轴,给出以下几个说法:
①双曲线x
2
-
2
y
2
5
+1
=1是黄金双曲线;
②若b
2
=ac,则该双曲线是黄金双曲线;
③如图,若∠F
1
B
1
A
2
=90°,则该双曲线是黄金双曲线;
④如图,若∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线.
其中正确的是( )
A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①②③④
答案
①由双曲线x
2
-
2
y
2
5
+1
=1,可得离心率e=
1+
5
+1
2
=
6+2
5
4
=
5
+1
2
,故该双曲线是黄金双曲线;
②∵b
2
=ac,∴c
2
-a
2
-ac=0,化为e
2
-e-1=0,又e>1,解得
e=
1+
5
2
,因此该双曲线是黄金双曲线;
③如图,∵∠F
1
B
1
A
2
=90°,∴
|
B
1
F
1
|
2
+|
B
1
A
2
|
2
=|
F
1
A
2
|
2
,
∴b
2
+c
2
+b
2
+a
2
=(a+c)
2
,化为c
2
-ac-a
2
=0,由②可知该双曲线是黄金双曲线;
④如图,∵∠MON=90°,
∴MN⊥x轴,
|M
F
2
|=
b
2
a
,且△MOF
2
是等腰直角三角形.
∴c=
b
2
a
,即b
2
=ac,由②可知:该双曲线是黄金双曲线.
综上可知:①②③④所给出的双曲线都是黄金双曲线.
故选:D.
举一反三
已知双曲线顶点间的距离为6,一条渐近线方程为y=
3x
2
,求双曲线的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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双曲线
x
2
9
-
y
2
16
=1
的两个焦点F
1
、F
2
,点P在双曲线上,若PF
1
⊥PF
2
,则△PF
1
F
2
面积是( )
A.16
B.32
C.25
D.50
题型:不详
难度:
|
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过双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)的右焦点F
2
作PF
2
⊥F
1
F
2
,交双曲线于P,若|PF
2
|=|F
1
F
2
|,则双曲线的离心率等于( )
A.2
B.
1
2
C.
2
+1
D.
2
-1
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C与双曲线
x
2
3
-
y
2
=1有相同的渐近线,且过点A(
3
,-3),则双曲线C的标准方程是______.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0),A
1
、A
2
是双曲线的左右顶点,M(x
0
,y
0
)是双曲线上除两顶点外的一点,直线MA
1
与直线MA
2
的斜率之积是
144
25
,
(1)求双曲线的离心率;
(2)若该双曲线的焦点到渐近线的距离是12,求双曲线的方程.
题型:不详
难度:
|
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