已知椭圆x2m+y2=1(m>1)和双曲线x2n-y2=1(n>0)有相同的焦点F1,F2,P是它们的一个交点,则△F1PF2的形状是(  )A.锐角三角形B.

已知椭圆x2m+y2=1(m>1)和双曲线x2n-y2=1(n>0)有相同的焦点F1,F2,P是它们的一个交点,则△F1PF2的形状是(  )A.锐角三角形B.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆
x2
m
+y2=1(m>1)和双曲线
x2
n
-y2=1(n>0)有相同的焦点F1,F2,P是它们的一个交点,则△F1PF2的形状是(  )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.随m,n的变化而变化
答案
由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长2


m

双曲线的实轴长为2


n

不妨令P在双曲线的右支上,
由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2


m
,①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2


n
,②
2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2(m+n),
又∵椭圆
x2
m
+y2=1(m>1)和双曲线
x2
n
-y2=1(n>0)有相同的焦点F1,F2
∴m-1=n+1,∴m-n=2,
∴|PF1|2+|PF2|2=2(m+n)=4m-2,
|F1F2|2=(2


m-1
2=4m-2,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|,
则△F1PF2的形状是直角三角形
故选:B.
举一反三
若双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的离心率e=
5
3
,则该双曲线的一条渐近线方程为(  )
A.y=
4
3
x
B.y=
3
4
x
C.y=
4
5
x
D.y=
3
5
x
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已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,P是椭圆上任意一点,则当直线PM,PN的斜率都存在时,其乘积恒为定值.类比椭圆,写出双曲线C′:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的类似性质,并加以证明.
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设F1,F2分别是双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使|OP|=|OF1|(O为原点),且|PF1|=


3
|PF2|,则双曲线的离心率为______.
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双曲线
x2
4m2
-
y2
m2
=1的两渐近线方程为(  )
A.y=±
1
2
x
B.y=±2xC.y=±
1
4
x
D.y=±4x
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我们把离心率为e=


5
+1
2
的双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线.如图,A1,A2是右图双曲线的实轴顶点,B1,B2是虚轴的顶点,F1,F2是左右焦点,M,N在双曲线上且过右焦点F2,并且MN⊥x轴,给出以下几个说法:
①双曲线x2-
2y2


5
+1
=1是黄金双曲线;
②若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线;
③如图,若∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线;
④如图,若∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线.
其中正确的是(  )
A.①②④B.①②③C.②③④D.①②③④

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