如图,半径为的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点。(1)求证:PA·PB= PC·PD;(2)设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证:EF⊥
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如图,半径为的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点。(1)求证:PA·PB= PC·PD;(2)设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证:EF⊥
题型:湖北省中考真题
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如图,半径为的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点。
(1)求证:PA·PB= PC·PD;
(2)设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证:EF⊥AD;
(3)若AB=8,CD=6,求OP的长。
答案
解:(1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同,
∴∠A=∠C,
∴Rt△APD∽Rt△CPB,
∴
∴PA·PB=PC·PD,
(2)∵F为BC的中点,△BPC为直角三角形,
∴FP=FC,
∴∠C=∠CPF,
又∠C=∠A,∠DPE=∠CPF,
∴∠A=∠DPE,
∵∠A+∠D=90°,
∴∠DPE+∠D=90°,
∴ EF⊥AD;
(3)作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,
则
又易证四边形MONP是矩形,
∴
。
举一反三
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