已知二次函数y=x2-(m2-4m+52)x-2(m2-4m+92)的图象与X轴的交点为A、B（点B在点A的右边），与y轴的交点为C．（1）若△ABC为Rt△，

题型：杭州难度：来源：

已知二次函数y=x2-(m2-4m+

5

2

)x-2(m2-4m+

9

2

)的图象与X轴的交点为A、B（点B在点A的右边），与y轴的交点为C．
（1）若△ABC为Rt△，求m的值；
（2）在△ABC中；若AC=BC，求∠ACB的正弦值；
（3）设△ABC的面积为S，求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值．

答案

设k=m²-4m+

5

2

，
则k+2=m²-4m+

9

2

，k=（m-2）²-

3

2

≥-

3

2

，
∴y=x²-kx-2（k+2）=（x+2）（x-k-2），
∴抛物线与x轴的两个交点为（-2，0），（k+2，0），
∵k≥-

3

2

，k+2≥

1

2

＞-2，
∴A（-2，0），B（k+2，0），C（0，-2k-4），
∴OA=2，OB=k+2，OC=2k+4，

（1）由于A、B位于原点两侧，若△ABC为Rt△，且OC⊥AB，则有：
OC²=OA•OB，
即：（2k+4）²=2（k+2），
解得k=-

3

2

，
∴m²-4m+

5

2

=-

3

2

，
即m²-4m+4=0，
解得m=2；

（2）若AC=BC，则△ABC是等腰三角形，由于OC⊥AB，则OA=OB，
抛物线的对称轴与y轴重合，此时k=0，B（2，0），C（0，-4），
∴AC²=BC²=20；
∵S_△ABC=

1

2

AC•sinACB•BC=

1

2

AB•OC，
∴sin∠ACB=

AB•OC

AC•BC

=

16

20

=

4

5

；

（3）∵S=

1

2

AB•OC=

1

2

（k+4）（2k+4）=（k+4）（k+2）=k²+6k+8=（k+3）²-1，
∴当k＞-3时，S随k的增大而增大，
由于k≥-

3

2

，∴当k=-

3

2

时，S取最小值，
∴m²-4m+

5

2

=-

3

2

，即m=2时，S取最小值，且最小值为S=（3-

3

2

）²-1=

5

4

．