设F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(OP+OF2)•F2P=0，O为坐标原点，且|PF1

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设F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(OP+OF2)•F2P=0，O为坐标原点，且|PF1

题型：不详难度：来源：
设F1，F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(


OP
+


OF2
)•


F2P
=0，O为坐标原点，且|


PF1
|=


3
|


PF2
|，则该双曲线的离心率为______．
答案
取PF2的中点A，则
∵(


OP
+


OF2
)•


F2P
=0，
∴2


OA
•


F2P
=0，
∴


OA
⊥


F2P
，
∵OA是△PF1F2的中位线，
∴PF1⊥PF2，OA=
1
2
PF1．
由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，
∵|PF1|=


3
|PF2|，
∴|PF2|=
2a


3
-1
，|PF1|=
2


3
a


3
-1
．
△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，
∴（
2a


3
-1
）2+（
2


3
a


3
-1
）2=4c2，
∴e=


3
+1．
故答案为：


3
+1．
举一反三
设双曲线的顶点为（0，±1），该双曲线又与直线


15
x-3y+6=0交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）．
（1）求此双曲线的方程；
（2）求|AB|
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双曲线
x2
9
-
y2
16
=1的焦点到渐近线的距离等于（　　）
A．2B．3C．4D．5
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若双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是（　　）
A．


3
B．
3
2
C．2D．


2
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双曲线
x2
4
-
y2
8
=1的实轴长是（　　）
A．2B．2


2
C．4D．4


2
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已知点F是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦点，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）
A．（1，2）B．（1，3）C．（1，1+


2
）		D．（2，1+


2
）
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