已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F做双曲线C的一条渐近线的垂线,与双曲线交于M,垂足为N,若M为线段FN的中点,则双曲线C

已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F做双曲线C的一条渐近线的垂线,与双曲线交于M,垂足为N,若M为线段FN的中点,则双曲线C

题型:沈阳模拟难度:来源:
已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F做双曲线C的一条渐近线的垂线,与双曲线交于M,垂足为N,若M为线段FN的中点,则双曲线C的离心率为 ______.
答案
设F(c,0)相应的渐近线:y=
b
a
x,
则根据直线FN的斜率为-
a
b
,设N(x,
b
a
x),代入双曲线渐近线方程求出x=
a2
c

则N(
a2
c
ab
c
),则M(
a2+c2
2c
ab
2c
),
把M点坐标代入双曲线方程
x2
a2
-
y2
b2
=1中,整理求得
c
a
=


2
,即离心率为


2

故答案为:


2
举一反三
直线y=kx+1与双曲线
y2
9
-
x2
16
=1
的一条渐近线垂直,则实数k=(  )
A.
3
4
B.
4
3
C.±
3
4
D.±
4
3
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双曲线
x2
25
-
y2
24
=1
上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为(  )
A.1或21B.14或36C.1D.21
题型:不详难度:| 查看答案
设M是双曲线
x2
25
-
y2
9
=1
的右支上的一点,F1为左焦点,且|MF1|=18,N是线段MF1的中点,O为坐标原点,则|ON|=______.
题型:不详难度:| 查看答案
过双曲线x2-y2=2的右焦点F作倾斜角为300的直线,交双曲线于P,Q两点,则|PQ|的值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知F1、F2为双曲线
x2
9
-
y2
4
=1
的两个焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点,下列四个命题:
①△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=3上;
②△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=2上;
③△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上;
④△PF1F2的内切圆必过(3,0).
其中真命题的序号是______.
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