设双曲线(a>0)的两个焦点分别为F1、F2,离心率为2,(Ⅰ)求此双曲线的渐近线l1、l2的方程;(Ⅱ)若A、B分别为l1、l2上的动点,且2|AB|=5|F

设双曲线(a>0)的两个焦点分别为F1、F2,离心率为2,(Ⅰ)求此双曲线的渐近线l1、l2的方程;(Ⅱ)若A、B分别为l1、l2上的动点,且2|AB|=5|F

题型:河北省期末题难度:来源:
设双曲线(a>0)的两个焦点分别为F1、F2,离心率为2,
(Ⅰ)求此双曲线的渐近线l1、l2的方程;
(Ⅱ)若A、B分别为l1、l2上的动点,且2|AB|=5|F1F2|,求线段AB的中点M的轨迹方程。

答案
解:(Ⅰ) ∵e=2,
∴c2=4a2
∵c2=a2+3,
∴a=1,c=2,
∴双曲线方程为,渐近线方程为y=±x;
(Ⅱ)设A(x1, y1),B(x2, y2),AB的中点M(x,y),

=10,
=10,
又∵y1=x1,y2=x2,2x=x1+x2,2y=y1+y2
∴y1+y2=(x1-x2),y1-y2=(x1+ x2),
=10,
∴3(2y)2+(2x)2=100,
,即为M的轨迹方程。 
举一反三
点F为双曲线的右焦点,点M为双曲线的右准线与对称轴的交点,点P在双曲线上,若△PMF为正三角形,则双曲线的离心率是

[     ]

A.
B.2
C.
D.
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已知双曲线C的方程为:=1,
(1)求双曲线C的顶点坐标和离心率;
(2)设双曲线C的右准线与其中一条渐近线相交于点D,点F为双曲线的右焦点,证明△ODF为直角三角形(O为坐标原点)。
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已知F1,F2是双曲线的两个焦点,过F2作垂直于实轴的直线PQ交双曲线于P,Q两点,若∠PF1Q=,则双曲线的离心率e等于

[     ]

A.-1
B.
C.+1
D.+2
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双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k的值为(    )。
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设a>1,则双曲线的离心率e的取值范围是(    )。
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