已知直线y=x+b与抛物线y2=2px(p>0)相交于A、B两点,若OA⊥OB,(O为坐标原点)且S△AOB=25,求抛物线的方程.
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已知直线y=x+b与抛物线y2=2px(p>0)相交于A、B两点,若OA⊥OB,(O为坐标原点)且S△AOB=25,求抛物线的方程.
题型:不详
难度:
来源:
已知直线y=x+b与抛物线y
2
=2px(p>0)相交于A、B两点,若OA⊥OB,(O为坐标原点)且S
△AOB
=2
5
,求抛物线的方程.
答案
设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)
由
y=x+b
y
2
=2px
得x
2
-2(p-b)x+b
2
=0
则x
1
+x
2
=2(p-b),
x
1
x
2
=
b
2
所以y
1
+y
2
=2p,y
1
y
2
=2pb
又因为OA⊥OB,
所以
y
1
x
1
•
y
2
x
2
=-1
即
2pb
b
2
=
2p
b
=-1
所以
p=-
b
2
,所以x
1
+x
2
=-3b,y
1
+y
2
=-b,y
1
y
2
=-b
2
又因为
S
△OAB
=2
5
,
|AB|=
10
b
,原点O到AB的距离
d=
|b|
2
所以
1
2
|AB|d=2
5
得b=±2,所以p=±1,
又因为p>0,所以p=1,y
2
=2x,
则抛物线的方程为y
2
=2x.
举一反三
已知M是抛物线y
2
=2px(p>0)上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为( )
A.1
B.1或4
C.1或5
D.4或5
题型:不详
难度:
|
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如图,已知点A(4,8),B(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
)在抛物线y
2
=2px上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合,M为BC中点.
(Ⅰ)求该抛物线的方程和焦点F的坐标;
(Ⅱ)求BC所在直线的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C
1
的焦点与椭圆C
2
:
x
2
6
+
y
2
5
=1
的右焦点重合,抛物线C
1
的顶点在坐标原点,过点M(4,0)的直线l与抛物线C
1
分别相交于A、B两点.
(Ⅰ)写出抛物线C
1
的标准方程;
(Ⅱ)若
|AB|=4
10
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线E的顶点在原点,焦点在x轴上,开口向左,且抛物线上一点M到其焦点的最小距离为
1
4
,抛物E与直ly=k(x+1)(k∈R)相交于A、B两点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)当△OAB的面积等
10
时,求k的值.
题型:不详
难度:
|
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过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示),交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则此抛物线的方程为( )
A.y
2
=8x
B.y
2
=4x
C.y
2
=2x
D.
y
2
=
3
题型:不详
难度:
|
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