如图,已知点A(4,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线y2=2px上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合,M为BC中点.(Ⅰ)求该抛物线的方程和
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如图,已知点A(4,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线y2=2px上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合,M为BC中点.(Ⅰ)求该抛物线的方程和
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知点A(4,8),B(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
)在抛物线y
2
=2px上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合,M为BC中点.
(Ⅰ)求该抛物线的方程和焦点F的坐标;
(Ⅱ)求BC所在直线的方程.
答案
(Ⅰ)由点A(4,8),在抛物线y
2
=2px上解得p=8,
∴抛物线的方程为y
2
=16x,焦点F的坐标(4,0)
(Ⅱ)∵△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合
由B(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
)得:
4+
x
1
+
x
2
3
=4
8+
y
1
+
y
2
3
=0
∴x
1
+x
2
=8,y
1
+y
2
=-8,M点的坐标为(4,-4)
由B,C在抛物线y
2
=16x上,
y
1
2
=16
x
1
y
2
2
=16
x
2
两方程作差y
1
2
-y
2
2
=16(x
1
-x
2
)
∴直线BC的斜率
k=
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
=
16
y
1
+
y
2
=
16
-8
=-2
∴BC所在直线的方程为y+4=-2(x-4),即2x+y-4=0
举一反三
已知抛物线C
1
的焦点与椭圆C
2
:
x
2
6
+
y
2
5
=1
的右焦点重合,抛物线C
1
的顶点在坐标原点,过点M(4,0)的直线l与抛物线C
1
分别相交于A、B两点.
(Ⅰ)写出抛物线C
1
的标准方程;
(Ⅱ)若
|AB|=4
10
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线E的顶点在原点,焦点在x轴上,开口向左,且抛物线上一点M到其焦点的最小距离为
1
4
,抛物E与直ly=k(x+1)(k∈R)相交于A、B两点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)当△OAB的面积等
10
时,求k的值.
题型:不详
难度:
|
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过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示),交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则此抛物线的方程为( )
A.y
2
=8x
B.y
2
=4x
C.y
2
=2x
D.
y
2
=
3
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(0,1).
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)在抛物线C上是否存在点P,使得过点P的直线交C于另一点Q,满足PF⊥QF,且PQ与C在点P处的切线垂直?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(|AF|>|BF|),交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=2,则此抛物线的方程为______.
题型:不详
难度:
|
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