已知曲线C上的任意一点P到点F（1，0）的距离比它到直线m：x=-4的距离小3．（1）求曲线C的方程；（2）在曲线C上是否存在一点M，它到点F（1，0）与到点A
题型：不详难度：来源：
已知曲线C上的任意一点P到点F（1，0）的距离比它到直线m：x=-4的距离小3．
（1）求曲线C的方程；
（2）在曲线C上是否存在一点M，它到点F（1，0）与到点A（3，2）的距离之和最小？若存在，请求出最小值及M的坐标；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）由题意可得，点P到F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等
由抛物线的定义可得点的轨迹是以F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线
抛物线的方程为：y2=4x
（2）过M作MF垂直于准线l：x=-1．垂足为点P，由抛物线的定义可知MP=MF
所以MA+MF=MA+MF，过点A作垂足于准线的直线与抛物线相交的点记为M时，
所求的线段和最小，此时MA+MF=4，M（1，2） |
举一反三
已知抛物线C：y2=2px（p＞0），其焦点是椭圆mx2+4y2=1的右焦点，且椭圆的离心率为．
（Ⅰ）试求抛物线C的方程；
（Ⅱ）在y轴上截距为2的直线l与抛物线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆过原点，求直线l的方程；
（Ⅲ）若以原点为圆心，以t（t＞0）为半径的圆分别交抛物线C上半支和y轴正半轴于A，B两点，直线AB与x轴交于点Q，试用A点的横坐标x0表示点Q的坐标． |
| 经过点（1，2）且焦点在x轴上的抛物线的标准方程为______． |
| 若抛物线的焦点坐标为（-2，0），则抛物线的标准方程是______． |
设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为kPA，kPB．
（1）求抛物线的方程；
（2）若kPA+kPB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；
（3）若kPA•kPB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标． |
| 过点P（-2，-4）的抛物线的标准方程为______． |
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