曲线N:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为12.(1)求曲线N;(2)过点T(-1,0)作直线l与曲线N交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(x0,0

曲线N:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为12.(1)求曲线N;(2)过点T(-1,0)作直线l与曲线N交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(x0,0

题型:不详难度:来源:
曲线N:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为
1
2

(1)求曲线N;
(2)过点T(-1,0)作直线l与曲线N交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(x0,0),使得△ABE是等边三角形,若存在,求出x0;若不存在,请说明理由.
答案
(1)据抛物线的定义可知点F(
1
4
,0)为抛物线的焦点,x=-
1
4
为其准线,
∴p=
1
2

∴曲线N:y2=x(3分)
(2)依题意知,直线的斜率存在,且不等于0.
设直线l:y=k(x+1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2).





y=k(x+1)
y2=x
消y整理,得k2x2+(2k2-1)x+k2=0①
由直线和抛物线交于两点,得△=(2k2-1)2-4k4=-4k2+1>
0即0<k2
1
4
②(5分)
由韦达定理,得:x1+x2=-
2k2-1
k2
,x1x2=1.
y1+y2=
1
k

则线段AB的中点为(-
2k2-1
2k2
1
2k
)
.(8分)
线段的垂直平分线方程为:y-
1
2k
=-
1
k
(x-
1-2k2
2k2
)

令y=0,得x0=
1
2k2
-
1
2
,则E(
1
2k2
-
1
2
,0)
(10分)
∵△ABE为正三角形,
E(
1
2k2
-
1
2
,0)
到直线AB的距离d为


3
2
|AB|
.(11分)
又∵|AB|=


(x1-x2)2+(y1-y2)2
=


1-4k2
k2


1+k2
d=


1+k2
2|k|



3


1-4k2
2k2


1+k2
=


1+k2
2|k|

解得k=±


39
13
满足②式(13分)
此时x0=
5
3
.(14分)
举一反三
已知某抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,其上的点P(m,-3)到焦点F的距离为5.
(Ⅰ)求该抛物线的方程.
(Ⅱ)设C是该抛物线上的一点,一以C为圆心的圆与其准线和y轴都相切,求C点的坐标.
题型:不详难度:| 查看答案
焦点在直线3x-4y-12=0上,且顶点在原点的抛物线标准方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
抛物线y2=ax 的焦点坐标为(-2,0),则抛物线方程为(  )
题型:不详难度:| 查看答案
题型:不详难度:| 查看答案
A.y2=-4xB.y2=4xC.y2=-8xD.y2=8x
已知抛物线y2=2px(p>0),点P(
8
5
4
5
),线段OP的垂直平分线经过抛物线的焦点F,经过F作两条互相垂直的弦AB、CD、,设AB、CD的重点分别为M、N
(1)求抛物线的方程;
(2)直线MN是否经过定点?若经过,求出定点坐标;若不经过,试说明理由.
设α∈[0,π],则方程y2cosα=1不能表示的曲线是(  )
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆