(1)设N(x,y),则P(2x,0),Q(0,2y),=(8 , 2y),=(-2x , 2y). ∵⊥,∴-16x+4y2=0. ∴动点N的轨迹方程为y2=4x. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(x1,-y1). 由=λ,知(x1+1,y1)=λ(x2+1,y2), 即 要证明=-λ,只要证明(x1-1,-y1)=-λ(x2-1,y2), 即只要证明 由②知④成立.由①知,要证③,只要证x1-1=-(x2-1). 只要证(x1-1)(x2+1)+(x1+1)(x2-1)=0,只要证x1x2=1. ∵AB过点H(-1,0),∴可设直线AB的方程为y=k(x+1), 代入y2=4x,并整理得k2x2+(2k2-4)x+k2=0. 由韦达定理,知x1x2==1. ∵③,④都成立,∴=-λ. (3)设E( , y3),E( , y4),则 直线EK的方程为 4x-(y3+y4)y+y3y4=0. ∵EK过点F(1,0),∴4-0+y3y4=0,∴y3y4=-4. ∵G与E关于x轴对称,∴G( , -y3). ∴直线GK的方程为4x-(-y3+y4)y-y3y4=0, ∵y3y4=-4,∴GK的方程为4x-(-y3+y4)y+4=0, ∴直线GK过定点(-1,0). |