已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线y=-2的距离小1.(1)求曲线C的方程;(2)过点F作直线l与曲线C交于A、B两点.(ⅰ)过A
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已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线y=-2的距离小1. (1)求曲线C的方程; (2)过点F作直线l与曲线C交于A、B两点. (ⅰ)过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M,证明:MA⊥MB; (ⅱ)是否在y轴上存在定点Q,使得无论AB怎样运动,都有∠AQF=∠BQF?证明你的结论. |
答案
(1)依题意有=|y+2|-1,由显然y>-2,得=|y+1|,化简得x2=4y; (2)(ⅰ)∵直线AB与x轴不垂直,设AB:y=kx+8. A(x1,y1),B(x2,y2). 由可得x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,x1x2=-4 抛物线方程为y=x2,求导得y′=x. 所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是kAM=x1,kBM=x2, ∴kAM•kBM=x1×x2=x1x2=-1即AM⊥BM (ⅱ)设点Q(0,t),此时kAQ=,kBQ=, 由(ⅰ)可知故kAQ+kBQ=+=x1x2(x1+x2)-4t(x1+x2) | 4x1x2 | =0对一切k恒成立 即:k(8+t)=0 故当t=-1,即Q(0,-1)时,使得无论AB怎样运动,都有∠AQP=∠BQP |
举一反三
设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是______. |
已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N. (Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标; (Ⅱ)已知O为原点,求证:∠MON为定值. |
已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线与直线y=2x+1交于P、Q两点,|PQ|=,求抛物线的方程. |
已知双曲线-=1,则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为______ |
顶点在原点,以x轴为对称轴且经过点M(-2,3)的抛物线的标准方程为______. |
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