在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准

在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准

题型:山东省高考真题难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为。(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当≤k≤2时,的最小值。
答案
解:(Ⅰ)F抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F
设M,由题意可知
则点Q到抛物线C的准线的距离为,解得
于是抛物线C的方程为
(Ⅱ)假设存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M,


可得
,即,解得
点M的坐标为
(Ⅲ)若点M的横坐标为,则点M
可得



于是


时,
即当.
故当时,
举一反三
设抛物线的焦点为,准线为l,,已知以为圆心,为半径的圆两点;
(1)若的面积为;求的值及圆的方程;
(2)若三点在同一直线上,直线平行,且只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值。
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A.
B.
C.
D.
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A.双曲线
B.椭圆
C.圆
D.抛物线
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