已知抛物线方程C:y2=2px(p>0),点F为其焦点,点N(3,1)在抛物线C的内部,设点M是抛物线C上的任意一点,的最小值为4,(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ
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已知抛物线方程C:y2=2px(p>0),点F为其焦点,点N(3,1)在抛物线C的内部,设点M是抛物线C上的任意一点,的最小值为4,(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ
题型:0108 模拟题
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已知抛物线方程C:y
2
=2px(p>0),点F为其焦点,点N(3,1)在抛物线C的内部,设点M是抛物线C上的任意一点,
的最小值为4,
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)过点F作直线l与抛物线C交于不同两点A、B,与y轴交于点P,且
,试判断λ
1
+λ
2
是否为定值?若是定值,求出该定值并证明;若不是定值,请说明理由。
答案
解:(1)准线方程为l:
,点M到l的距离设为d,
由抛物线定义,
,所以p=2,
所以y
2
=4x。
(2)设
,
由题意知直线l的斜率k存在且不等于0,
设l:y=k(x-1),则P(0,-k),
由
知
,
∴
,
∵k≠0,∴
,
将y=k(x-1)代入y
2
=4x得
,
,
∴
,
∴
为定值。
举一反三
已知在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,点D的极坐标是(1,
π),曲线C的极坐标方程为ρ=
。
(1)求点D的直角坐标和曲线C的直角坐标方程;
(2)若经过点D的直线l与曲线C交于A、B两点,求|DA|·|DB|的最小值。
题型:0108 模拟题
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过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线的准线上的射影为C,若
,
=48,则抛物线的方程为
[ ]
A.y
2
=8x
B.y
2
=4x
C.y
2
=16x
D.y
2
=4
x
题型:同步题
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已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上。
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)设过点P,且斜率为-
的直线与曲线M相交于A、B两点。问△ABC能否为正三角形?若能,求出C点的坐标;若不能,说明理由。
题型:同步题
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如图,过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为
A.y
2
=
x
B.y
2
=9x
C.y
2
=
x
D.y
2
=3x
题型:同步题
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已知以坐标原点为顶点的抛物线C,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A、B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为( )。
题型:同步题
难度:
|
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