倾斜角为π4的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．

题型：不详难度：来源：

倾斜角为

π

4

的直线l经过抛物线y²=4x的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．

答案

设A（x₁，），B（x₂，），A，B到准线的距离分别为d_A，d_B，
由抛物线的定义可知|AF|=d_A=x₁+1，|BF|=d_B=x₂+1，于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2．（3分）
由已知得抛物线的焦点为F（1，0），斜率k=tan

π

4

=1，所以直线AB方程为y=x-1．（6分）
将y=x-1代入方程y²=4x，得（x-1）²=4x，化简得x²-6x+1=0．
由求根公式得x₁=3+2

2

，x₂=3-2

2

，（9分）
于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2=8．
所以，线段AB的长是8．（12分）