给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.(Ⅰ)设l的斜率为1,求OA与OB夹角的大小;(Ⅱ)设FB=λAF,若λ∈[4,9]

给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.(Ⅰ)设l的斜率为1,求OA与OB夹角的大小;(Ⅱ)设FB=λAF,若λ∈[4,9]

题型:黑龙江难度:来源:
给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.
(Ⅰ)设l的斜率为1,求


OA


OB
夹角的大小;
(Ⅱ)设


FB
=λ


AF
,若λ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围.
答案
(I)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,所以l的方程为y=x-1.
将y=x-1代入方程y2=4x,并整理得x2-6x+1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=6,x1x2=1,


OA


OB
=(x1,y1)•(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3.|


OA
|•|


OB
|=


x21
+
y21


x22
+
y22
=


x1x2[x1x2+4(x1+x2)+16]
=


41

cos<


OA


OB
>=


OA


OB
|


OA
|•|


OB
|
=-
3


41
41
.

所以


OA


OB
夹角的大小为π-arccos
3


41
41

(II)由题设知


FB


AF
得:(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1),即





x2-1=λ(1-x1)(1)
y2=-λy1(2)

由(2)得y222y12,∵y12=4x1,y22=4x2,∴x22x1(3)
联立(1)(3)解得x2=λ.依题意有λ>0.
∴B(λ,2


λ
)或B(λ,-2


λ
),又F(1,0),
得直线l的方程为(λ-1)y=2


λ
(x-1)或(λ-1)y=-2


λ
(x-1)
当λ∈[4,9]时,l在y轴上的截距为
2


λ
λ-1
或-
2


λ
λ-1

2


λ
λ-1
=
2


λ
+1
+
2
λ-1
,可知
2


λ
λ-1
在[4,9]上是递减的,
3
4
2


λ
λ-1
4
3
,-
4
3
-
2


λ
λ-1
≤-
3
4

直线l在y轴上截距的变化范围是[-
4
3
,-
3
4
]∪[
3
4
4
3
]
举一反三
连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是______(填写所有正确选项的序号).
①菱形②有3条边相等的四边形③梯形
④平行四边形⑤有一组对角相等的四边形
题型:重庆难度:| 查看答案
已知点P(m,3)是抛物线y=x2+4x+n上距点A(-2,0)最近一点,则m+n=(  )
题型:不详难度:| 查看答案
题型:湖南难度:| 查看答案
题型:江苏模拟难度:| 查看答案
题型:石家庄一模难度:| 查看答案
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A.1B.3C.5D.7
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时,点P(x,0)存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.
(I)证明:点P(x0,0)的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同;
(II)试问:点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用x0表示):若不存在,请说明理由.
设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若


FA
+


FB
+


FC
=


0
,则|


FA
|+|


FB
|+|


FC
|
=______.
已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py(p>0)上,该圆经过点A(0,p),且与x轴交于两点M、N,则sin∠MCN的最大值为______.