若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时,点P(x,0)存在
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若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时,点P(x,0)存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2. (I)证明:点P(x0,0)的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同; (II)试问:点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用x0表示):若不存在,请说明理由. |
答案
(I)设AB为点P(x0,0)的任意一条“相关弦”,且点A、B的坐标分别是 (x1,y1)、(x2,y2)(x1≠x2),则y21=4x1,y22=4x2, 两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因为x1≠x2,所以y1+y2≠0、 设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是M(xm,ym),则 k===.从而AB的垂直平分线l的方程为y-ym=-(x-xm). 又点P(x0,0)在直线l上,所以-ym=-(x0-xm). 而ym≠0,于是xm=x0-2.故点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,弦AB所在直线的方程是y-ym=k(x-xm),代入y2=4x中, 整理得k2x2+2[k(ym-kxm)-2]x+(ym-kxm)2=0.(•) 则x1、x2是方程的两个实根,且x1•x2=. 设点P的“相关弦”AB的弦长为l,则l2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4(1+k2)(xm2-x1x2) =4(1+)[-] =(4+ym2)(4xm-ym2)=-ym4+4ym2(xm-1)+16xm =4(xm+1)2-[ym2-2(xm-1)]2=4(x0-1)2-[ym2-2(x0-3)]2. 因为0<ym2<4xm=4(xm-2)=4x0-8,于是设t=ym2,则t∈(0,4x0-8). 记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2. 若x0>3,则2(x0-3)∈(0,4x0-8),所以当t=2(x0-3),即ym2=2(x0-3)时, l有最大值2(x0-1). 若2<x0<3,则2(x0-3)≤0,g(t)在区间(0,4x0-8)上是减函数, 所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值. 综上所述,当x0>3时,点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值 为2(x0-1);当2<x0≤3时,点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中不存在最大值. |
举一反三
设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=,则||+||+||=______. |
已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py(p>0)上,该圆经过点A(0,p),且与x轴交于两点M、N,则sin∠MCN的最大值为______. |
抛物线y2=2px(p>0)的动弦AB长为a(a≥2p),则弦AB的中点M到y轴的最小距离为______. |
要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应为______米. |
河上有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽为8 m,一小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面上的部分高m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距______m时,小船不能通航. |
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