已知曲线C上的动点P到点F(2,0)的距离比它到直线x=﹣1的距离大1.(I)求曲线C的方程;(II)过点F(2,0)且倾斜角为的直线与曲线C交于A,B两点,线

已知曲线C上的动点P到点F(2,0)的距离比它到直线x=﹣1的距离大1.(I)求曲线C的方程;(II)过点F(2,0)且倾斜角为的直线与曲线C交于A,B两点,线

题型:山东省月考题难度:来源:

已知曲线C上的动点P到点F(2,0)的距离比它到直线x=﹣1的距离大1.
(I)求曲线C的方程;
(II)过点F(2,0)且倾斜角为的直线与曲线C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明:|FP|﹣|FP|·cos2α为定值,并求出此定值


答案
   (I)解:设动点P(x,y),动点P到点F(2,0)的距离比它到直线x=﹣1的距离多1,
即动点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x=﹣2的距离
两边平方(x﹣2)2+y2=(x+2)2
化简可得:y2=8x
(II)证明:如图,作AC⊥l,BD⊥l,
设A,B的横坐标分别为xA,xB
=|FA|cosα+4,解得
同理|FB|=4﹣|FB|cosα,解得
记m与AB的交点为E,
则|FE|=|FA|﹣|AE|===


即FP|﹣|FP|cos2α为定值,定值为8.
举一反三
已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,﹣1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是  [     ]
A.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
B.(﹣∞,﹣)∪(,+∞)
C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
D.(﹣∞,﹣)∪(,+∞)
题型:新疆维吾尔自治区期末题难度:| 查看答案
已知抛物线G的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点P(m,4)到其准线的距离等于5.
(I)求抛物线G的方程;
(II)如图,过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+(y﹣1)2=1交于A、C、D、B四点,试证明|AC||BD|为定值;
(III)过A、B分别作抛物G的切线l1,l2且l1,l2交于点M,试求△ACM与△BDM面积之和的最小值.
题型:山东省月考题难度:| 查看答案
已知抛物线y2=4x的焦点为F.
(1)若直线l过点M(4,0),且F到直线l的距离为2,求直线l的方程;
(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与X轴垂直,若线段AB中点的横坐标为2.求证:线段AB的垂直平分线恰过定点.
题型:山东省期末题难度:| 查看答案
已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(2)设P(1,2),是否存在平行于OP(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OP与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
题型:河南省期中题难度:| 查看答案
在平面直角坐标系O中,直线与抛物线=2相交于AB两点。
(1)求证:命题过点T(3,0),那么=3;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由。  
题型:贵州省期中题难度:| 查看答案
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