已知⊙O′过定点A(0,p)(p>0),圆心O′在抛物线C:x2=2py(p>0)上运动,MN为圆O′在x轴上所截得的弦.(1)当O′点运动时,|MN|是否有变
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已知⊙O′过定点A(0,p)(p>0),圆心O′在抛物线C:x2=2py(p>0)上运动,MN为圆O′在x轴上所截得的弦.(1)当O′点运动时,|MN|是否有变
题型:不详
难度:
来源:
已知⊙O′过定点A(0,p)(p>0),圆心O′在抛物线C:x
2
=2py(p>0)上运动,MN为圆O′在x轴上所截得的弦.
(1)当O′点运动时,|MN|是否有变化?并证明你的结论;
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系,并说明理由.
答案
(1)|MN|不变化,其定值为2p 见解析
(2)见解析
解析
(1)设O′(x
0
,y
0
),则x
0
2
=2py
0
(y
0
≥0),
则⊙O′的半径|O′A|=
,
⊙O′的方程为(x-x
0
)
2
+(y-y
0
)
2
=x
0
2
+(y
0
-p)
2
,
令y=0,并把x
0
2
=2py
0
,代入得x
2
-2x
0
x+x
0
2
-p
2
=0,
解得x
1
=x
0
-p,x
2
=x
0
+p,所以|MN|=|x
1
-x
2
|=2p,
这说明|MN|不变化,其定值为2p.
(2)不妨设M(x
0
-p,0),N(x
0
+p,0).
由题2|OA|=|OM|+|ON|,得2p=|x
0
-p|+|x
0
+p|,
所以-p≤x
0
≤p.
O′到抛物线准线y=-
的距离d=y
0
+
=
,
⊙O′的半径|O′A|=
=
=
.
因为r>d⇔x
0
4
+4p
4
>(x
0
2
+p
2
)
2
⇔x
0
2
<
p
2
,
又x
0
2
≤p
2
<
p
2
(p>0),所以r>d,
即⊙O′与抛物线的准线总相交.
举一反三
若抛物线
的焦点为
,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
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|
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一个动圆与定圆
:
相内切,且与定直线
:
相切,则此动圆的圆心
的轨迹方程是( )
A.
B.
C.
D.
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抛物线
的焦点是( )
A.
B.
C.
D.
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一个动圆与定圆
:
相外切,且与定直线
:
相切,则此动圆的圆心
的轨迹方程是( )
A.
B.
C.
D.
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,则光源安装的位置
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.
题型:不详
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