过抛物线C:上的点M分别向C的准线和x轴作垂线,两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形,点M在第一象限.(1)求抛物线C的方程及点M的坐标;(2)过点M作
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过抛物线C:上的点M分别向C的准线和x轴作垂线,两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形,点M在第一象限.(1)求抛物线C的方程及点M的坐标;(2)过点M作
题型:不详
难度:
来源:
过抛物线C:
上的点M分别向C的准线和x轴作垂线,两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形,点M在第一象限.
(1)求抛物线C的方程及点M的坐标;
(2)过点M作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C交于A,B两点,如果点M在直线AB的上方,求
面积的最大值.
答案
(1)y
2
=8x,(2,4);(2)
.
解析
试题分析:本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式、利用导数求函数的最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,由题意结合抛物线图象得到M点坐标,代入抛物线方程中,解出P的值,从而得到抛物线的标准方程及M点坐标;第二问,设出A,B点坐标,利用M点,分别得到直线MA和直线MB的斜率,因为两直线倾斜角互补,所以两直线的斜率相加为0,整理得到y
1
+y
2
=-8,代入到
中得到直线AB的斜率,设出直线AB的方程,利用M点在直线AB上方得到b的范围,令直线与抛物线方程联立,图形有2个交点,所以方程的
进一步缩小b的范围,
,而
用两点间距离公式转化,d是M到直线AB的距离,再利用导数求面积的最大值.
(1)抛物线C的准线x=-
,依题意M(4-
,4),
则4
2
=2p(4-
),解得p=4.
故抛物线C的方程为y
2
=8x,点M的坐标为(2,4), 3分
(2)设
.
直线MA的斜率
,同理直线MB的斜率
.
由题设有
,整理得y
1
+y
2
=-8.
直线AB的斜率
. 6分
设直线AB的方程为y=-x+b.
由点M在直线AB的上方得4>-2+b,则b<6.
由
得y
2
+8y-8b=0.
由Δ=64+32b>0,得b>-2.于是-2<b<6. 9分
,
于是
.
点M到直线AB的距离
,则△MAB的面积
.
设f(b)=(b+2)(6-b)
2
,则f¢(b)=(6-b)(2-3b).
当
时,f¢(x)>0;当
时,f¢(x)<0.
当
时,f(b)最大,从而S取得最大值
. 12分
举一反三
已知圆P:x
2
+y
2
=4y及抛物线S:x
2
=8y,过圆心P作直线l,此直线与上述两曲线的四个交点,自左向右顺次记为A,B,C,D,如果线段AB,BC,CD的长按此顺序构成一个等差数列,则直线l的斜率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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若直线
与抛物线
相交于
,
两点,且
,
两点在抛物线的准线上的射影分别是
,
,若
,则
的值是
.
题型:不详
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|
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已知直线
:
与抛物线
:
交于
两点,与
轴交于
,若
,则
_______.[
题型:不详
难度:
|
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若
,则称点
在抛物线C:
外.已知点
在抛物线C:
外,则直线
与抛物线C的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定
题型:不详
难度:
|
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(3分)(2011•重庆)动圆的圆心在抛物线y
2
=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过点
.
题型:不详
难度:
|
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