在平面直角坐标系中,已知定点F(1,0),点在轴上运动,点在轴上,点为平面内的动点,且满足,.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设点是直线:上任意一点,过点作轨迹

在平面直角坐标系中,已知定点F(1,0),点在轴上运动,点在轴上,点为平面内的动点,且满足,.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设点是直线:上任意一点,过点作轨迹

题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系中,已知定点F(1,0),点轴上运动,点轴上,点
为平面内的动点,且满足
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设点是直线上任意一点,过点作轨迹的两条切线,切点分别为,设切线的斜率分别为,直线的斜率为,求证:
答案
(1),(2)详见解析.
解析

试题分析:(1)求动点轨迹方程,分四步。第一步,设所求动点坐标,设点.第二步,建立等量关系,由可知,点的中点,所以所以点.所以.由,可得,第三步,化简等量关系,即.第四步,去杂或确定取值范围,本题就是(2)证明三直线斜率关系,实质研究其坐标关系. 设点,则过点的直线,联立方程,整理得.则,化简得.所以.又,故
【解】(1)设点
可知,点的中点,
所以所以点
所以.       3分
,可得,即
所以动点的轨迹的方程为.     5分

(2)设点
由于过点的直线与轨迹相切,
联立方程,整理得.    7分

化简得
显然,是关于的方程的两个根,所以
,故
所以命题得证.                                           10分
举一反三
抛物线的焦点坐标为               .
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抛物线的焦点坐标为              
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设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为(  )
【选项】
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x

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已知点P是抛物线上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A 的坐标是(4,a),则当时,的最小值是(   )
A.B.
C.D.

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抛物线的准线为(    )
A.x= 8B.x=-8
C.x=4D.x=-4

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