我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线,这个公共点称为切点.解决下列问题:已知抛物线上的点到焦点的距离等于4,直线与抛物
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我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线,这个公共点称为切点.解决下列问题:已知抛物线上的点到焦点的距离等于4,直线与抛物
题型:不详
难度:
来源:
我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线,这个公共点称为切点.解决下列问题:
已知抛物线
上的点
到焦点的距离等于4,直线
与抛物线相交于不同的两点
、
,且
(
为定值).设线段
的中点为
,与直线
平行的抛物线的切点为
..
(1)求出抛物线方程,并写出焦点坐标、准线方程;
(2)用
、
表示出
点、
点的坐标,并证明
垂直于
轴;
(3)求
的面积,证明
的面积与
、
无关,只与
有关.
答案
(1)
,
,
,(2)
,
,(3)
.
解析
试题分析:(1)由抛物线定义得:
,即
,因此抛物线方程为
,焦点坐标
,准线方程为
.(2)因为D点为直线与抛物线的交点A,B中点,所以求D点坐标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组,利用韦达定理求解,即由
,得
,
,点
.因为C点为切点,利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别式为零进行求解,即由
,得
,得
.由于
、
的横坐标相同,
垂直于
轴.(3)求三角形面积,必须观察结构,合理选用底边与高.本题将CD选为底,则
为高,利用(1)求出
,则
.
的面积与
、
无关,只与
有关.
试题解析:(1)
,得
,抛物线方程为
. 2分
焦点坐标
,准线方程为
. 4分
(2)由
,得
,
点
6分
设切线方程为
,由
,得
,
,切点的横坐标为
,得
8分
由于
、
的横坐标相同,
垂直于
轴. 10分
(3)
,
. 12分
. 15分
的面积与
、
无关,只与
有关. 16分
(本小题也可以求
,切点到直线
的距离
,相应给分)
举一反三
已知直线
(
k
>0)与抛物线
相交于
、
两点,
为
的焦点,若
,则
k
的值为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知直线
(
k
>0)与抛物线
相交于
A
、
B
两点,
为
的焦点,若
,则
k
的值为()
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线型拱桥的顶点距水面
米时,量得水面宽为
米.则水面升高
米后,水面
宽是____________米(精确到
米).
题型:不详
难度:
|
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已知
为坐标原点,
为抛物线
的焦点,
为
上一点,若
,则△
的面积为( )
A.2
B.
C.
D.4
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A,B两点,直线AF,BF分别于抛物线交于点C,D.设直线AB,CD的斜率分别为
,则
( )
A.
B.
C.1 D.2
题型:不详
难度:
|
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