试题分析:本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质等基础知识,考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,利用抛物线的准线,得到M点的坐标,利用圆的方程得到圆心C的坐标,在中,可求出,在中,利用相似三角形进行角的转换,得到的长,而,从而解出P的值,即得到抛物线的标准方程;第二问,设出N点的坐标,利用N、C点坐标写出圆C的方程,利用点C的坐标写出圆C的方程,两方程联立,由于P、Q是两圆的公共点,所以联立得到的方程即为直线PQ的方程,而O点在直线上,代入点O的坐标,即可得到s、t的值,即得到N点坐标. 试题解析:(1)由已知得,C(2,0). 设AB与x轴交于点R,由圆的对称性可知,. 于是, 所以,即,p=2. 故抛物线E的方程为y2=4x. 5分 (2)设N(s,t). P,Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点. 圆D方程为, 即x2+y2-(s+2)x-ty+2s=0. ① 又圆C方程为x2+y2-4x+3=0. ② ②-①得(s-2)x+ty+3-2s=0. ③ 9分 P,Q两点坐标是方程①和②的解,也是方程③的解,从而③为直线PQ的方程. 因为直线PQ经过点O,所以3-2s=0,. 故点N坐标为或. 12分 |