已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，抛物线上的点到的距离为2，且的横坐标为1．直线与抛物线交于，两点.（1）求抛物线的方程；（2）当直线，的倾斜角之和为时，

题型：不详难度：来源：

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，抛物线上的点到的距离为2，且的横坐标为1．直线与抛物线交于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）当直线，的倾斜角之和为时，证明直线过定点.

答案

（1）；（2）直线恒过定点，证明详见解析.

解析

试题分析：（1）设抛物线方程为，由抛物线的定义及即可求得的值；（2）先设点，，然后将直线方程与抛物线方程联立消去得，根据二次方程根与系数的关系表示出，设直线，的倾斜角分别为，斜率分别为，则，进而根据正切的两角和公式可知，其中，，代入求得和的关系式，此时使有解的有无数组，把直线方程整理得，推断出直线过定点.
试题解析：（1）设抛物线方程为
由抛物线的定义知，又                2分
所以，所以抛物线的方程为                  4分
（2）设，
联立，整理得（依题意）
，                         6分
设直线，的倾斜角分别为，斜率分别为，则
                    8分
其中，，代入上式整理得
所以即                      10分
直线的方程为，整理得
所以直线过定点                          12分.