过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________．

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过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________．

答案

解析

设点A，B的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－

，把y＝x－

代入y²＝2px，得x²－3px＋

p²＝0，∴x₁＋x₂＝3p，∵|AB|＝x₁＋x₂＋p＝4p＝8，∴p＝2．

举一反三

已知抛物线

上一点

到其焦点的距离为

，则m＝ .

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如图，等边三角形OAB的边长为8

，且其三个顶点均在抛物线E：x²＝2py(p>0)上．

(1)求抛物线E的方程；
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

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已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，

，P为C的准线上一点，则

的面积为(　)

A．18

B．24

C． 36

D． 48

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已知⊙O：

，

为抛物线

的焦点，

为⊙O外一点，由

作⊙O的切线与圆相切于

点，且

（1）求点P的轨迹C的方程
（2）设A为抛物线

准线上任意一点，由A向曲线C作两条切线AB、AC，其中B、C为切点.求证：直线BC必过定点

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若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

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