过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于两点．（I）试证明两点的纵坐标之积为定值；（II）若点是定直线上的任一点，试探索三条直线的斜率之间的关系，并给出

题型：不详难度：来源：

过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于两点．
（I）试证明两点的纵坐标之积为定值；
（II）若点是定直线上的任一点，试探索三条直线的斜率之间的关系，并给出证明.

答案

（1）见解析；（2）见解析.

解析

本题主要考查抛物线与直线的位置关系以及发现问题和解决问题的能力．
（1）证明：设 有，下证之：
设直线的方程为:与联立得
           

消去得，由韦达定理得 ．

（2）解：三条直线的斜率成等差数列，下证之：
设点，则直线的斜率为;直线的斜率为，    
         

又直线的斜率为，∴，即直线的斜率成等差数列．