在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,1),P是动点,且△POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若Q是轨迹
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在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,1),P是动点,且△POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若Q是轨迹
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,1),P是动点,且△POA的三边所在直线的斜率满足k
OP
+k
OA
=k
PA
.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点,且
=λ
,直线OP与QA交于点M,问:是否存在点P,使得△PQA和△PAM的面积满足S
△PQA
=2S
△PAM
?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(1)y=x
2
(x≠0且x≠-1)(2)(1,1)
解析
(1)设点P(x,y)为所求轨迹上的任意一点,则由k
OP
+k
OA
=k
PA
得
,
整理得轨迹C的方程为y=x
2
(x≠0且x≠-1).
(2)设P(x
1
,
),Q(x
2
,
,M(x
0
,y
0
),
由
=λ
可知直线PQ∥OA,则k
PQ
=k
OA
,故
,即x
2
+x
1
=-1,
由O、M、P三点共线可知,
=(x
0
,y
0
)与
=(x
1
,
)共线,
∴x
0
-x
1
y
0
=0,由(1)知x
1
≠0,故y
0
=x
0
x
1
,
同理,由
=(x
0
+1,y
0
-1)与
=(x
2
+1,
-1)共线可知(x
0
+1)(
-1)-(x
2
+1)(y
0
-1)=0,即(x
2
+1)[(x
0
+1)·(x
2
-1)-(y
0
-1)]=0,
由(1)知x
2
≠-1,故(x
0
+1)(x
2
-1)-(y
0
-1)=0,
将y
0
=x
0
x
1
,x
2
=-1-x
1
代入上式得(x
0
+1)(-2-x
1
)-(x
0
x
1
-1)=0,
整理得-2x
0
(x
1
+1)=x
1
+1,由x
1
≠-1得x
0
=-
,由S
△PQA
=2S
△PAM
,得到QA=2AM,
∵PQ∥OA,∴OP=2OM,∴
=2
,∴x
1
=1,∴P的坐标为(1,1)
举一反三
已知点
是抛物线
上的点,则以点
为切点的抛物线的切线方程为
▲
.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分共15分)已知抛物线
的焦点
F
到直线
的距离为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)如图,过点
F
作两条直线分别交抛物线于
A
、
B
和
C、D
,过点
F
作垂直于
轴的直线分别交
和
于点
.
求证:
.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
.
(1)若圆心在抛物线
上的动圆,大小随位置而变化,但总是与直线
相切,求所有的圆都经过的定点坐标;
(2)抛物线
的焦点为
,若过
点的直线与抛物线相交于
两点,若
,求直线
的斜率;
(3)若过
正半轴上
点的直线与该抛物线交于
两点,
为抛物线上异于
的任意一点,记
连线的斜率为
试求满足
成等差数列的充要条件.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
的焦点为
,过点
的直线
与
相交于
两点,点
关于
轴的对称点为
.
(Ⅰ)证明:点
在直线
上;
(Ⅱ)设
,求
的平分线与
轴的交点坐标.
题型:不详
难度:
|
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若抛物线
的离心率
,则该抛物线准线方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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