已知抛物线y2=2px(p≠0)及定点A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,M是抛物线上的点.设直线AM、BM与抛物线的另一个交点分别为M1、M
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已知抛物线y2=2px(p≠0)及定点A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,M是抛物线上的点.设直线AM、BM与抛物线的另一个交点分别为M1、M2,当M变动时,直线M1M2恒过一个定点,此定点坐标为________. |
答案
解析
设M,M1,M2, 由点A、M、M1共线可知=, 得y1=,同理由点B、M、M2共线得y2=. 设(x,y)是直线M1M2上的点,则, 即y1y2=y(y1+y2)-2px,又y1=,y2=, 则(2px-by)+2pb·(a-x)y0+2pa·(by-2pa)=0. 当x=a,y=时上式恒成立,即定点为. |
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,焦点F的坐标为(1,0). (1)求抛物线C的标准方程; (2)设M、N是抛物线C的准线上的两个动点,且它们的纵坐标之积为-4,直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B,求证:动直线AB恒过一个定点. |
已知拋物线的顶点在原点,它的准线过双曲线=1的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,拋物线与双曲线交于点P,求拋物线方程和双曲线方程. |
(12分)已知顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为,求抛物线的方程. |
已知抛物线x2=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线交抛物线于A、B两点,抛物线在A、B两点处的切线交于点M.
(1)求证:A、M、B三点的横坐标成等差数列; (2)设直线MF交该抛物线于C、D两点,求四边形ACBD面积的最小值. |
抛物线的通径是 |
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