如图,过抛物线C:y2=4x上一点P(1,-2)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于点A(x,y1),B(x2,y2).(1)求y1+y2的值;(2)若y1

如图,过抛物线C:y2=4x上一点P(1,-2)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于点A(x,y1),B(x2,y2).(1)求y1+y2的值;(2)若y1

题型:不详难度:来源:
如图,过抛物线C:y2=4x上一点P(1,-2)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于点A(xy1),B(x2,y2).

(1)求y1+y2的值;
(2)若y1≥0,y2≥0,求△PAB面积的最大值.
答案
(1)y1+y2=4.(2)6
解析
(1)因为A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线C:y2=4x上,所以A,B,kPA,同理kPB,依题意有kPA=-kPB,因为=-,所以y1+y2=4
(2)由(1)知kAB=1,设AB的方程为y-y1=x-,即x-y+y1=0,P到AB的距离为d=,AB=·|y1-y2|=2|2-y1|,所以S△PAB××2|2-y1|=|-4y1-12||y1-2|=|(y1-2)2-16|·|y1-2|,令y1-2=t,由y1+y2=4,y1≥0,y2≥0,可知-2≤t≤2.S△PAB|t3-16t|,因为S△PAB|t3-16t|为偶函数,只考虑0≤t≤2的情况,记f(t)=|t3-16t|=16t-t3,f′(t)=16-3t2>0,故f(t)在[0,2]是单调增函数,故f(t)的最大值为f(2)=24,故S△PAB的最大值为6
举一反三
已知抛物线y2=2px(p≠0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点,则实数p的取值范围为________.
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已知抛物线y2=2px(p≠0)及定点A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,M是抛物线上的点.设直线AM、BM与抛物线的另一个交点分别为M1、M2,当M变动时,直线M1M2恒过一个定点,此定点坐标为________.
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,焦点F的坐标为(1,0).
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)设M、N是抛物线C的准线上的两个动点,且它们的纵坐标之积为-4,直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B,求证:动直线AB恒过一个定点.
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已知拋物线的顶点在原点,它的准线过双曲线=1的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,拋物线与双曲线交于点P,求拋物线方程和双曲线方程.
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(12分)已知顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为,求抛物线的方程.
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